BAB 9 GESERAN (TRANSLASI)

BAB 9

GESERAN (TRANSLASI)

     A.   Ketentuan dan Sifat-sifat

Teorema 10.1 : Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A dan B

maka AA" = BB" dengan A" =M_g M_h (A) dan B" =M_h M_g (B).

Bukti : Kita pilih sebuah system koordinat dengan g sebagai sumbu –y dan sebuah garis tegak lurus pada g sebagai sumbu-x

Andaikan A =(a₁,a₂ ) dan B =(b₁,b₂ ). Jika N tengah-tengah ruas garis A" B maka harus dibuktikan S_N( A) =B" . Andaikan persamaan h adalah x =k (k≠ 0), apabila P =( x, y ) dan P'=M_h( P) maka PP' memotong h di sebuah titik Q=( k , y ) dengan Q sebagai titik tengah PP' , jadi P'=M_h( P)=(2k −x, y ) sedangkan M_g( P ) ( −x, y ) .

Jadi, M_hM_g (P) = M _h [(−x, y )]=( 2k +x, y )

Jadi pula A"=M_hM_g(A)=( 2x + a₁,a₂ ) dan B"= M_hM_g ( B) =(2x + b₁,b₂ )

Oleh karena N titik tengah A" B , maka

B.   Definisi

Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada ruas garis berarah AB

Sehingga setiap titik P pada bidang menjadi P' dengan G(P) = P' dan PP' = AB.

C.    Teorema

2.     Apabila AB =CD maka G_AB =G_CD

Bukti :

Jika x sebarang, maka harus dibuktikan G_AB (X) =G_CD (X) .

Andaikan G_AB(X)= X₁ dan G_CD(X)=X₂

Jadi XX₁ = AB dan XX₂ = CD

Karena AB = CD maka XX₁ = XX₂ ini berarti bahwa X₁=X₂ sehingga

G_AB=G_CD.

3.    Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan CD sebuah garis berarah tegak lurus pada g denga C∈g dan D∈h. Apabila AB = 2CD maka G_AB=M_g M_h .

Bukti :

Andaikan P sebuah titik sebarang. Jika P'=G_AB(P) dan P"=M_hM_g(P),maka harus dibuktikan bahwa P'= P".

Menurut ketentuan geseran, PP' = AB . Oleh karena AB = 2CD, maka PP' = 2CD .Berhubung C"= M_hM_g (C),C∈g, maka C" =M_h(C).

Jadi D adalah titik tengah CC" sehingga CC" 2CD . Oleh karena

CC" =PP"(teorema 1) , maka PP" =2CD=PP'

Ini berarti bahwa P'=P". jadi G_AB(P) =M_hM_g(P).

Karena P sebarang, maka G_AB =M_hM_g .

4.    Jika G AB sebuah geseran maka (G AB ) −G BA .

Bukti :

Oleh karena himpunan isometri-isometri merupaka grup bagian dari grup

transformasi, maka setiap geseran memiliki balikan (G AB ) −1 (gambar 10.3). Dari uraian diatas diperoleh :

                      G_AB =M_hM_g =M_n M_h

Sedangkan  G_BA=M_h M_n =M_g M_h

Sehingga (G_AB )⁻¹ =( M_n M_h )⁻¹ =M_h M_n =M_h M_n =G_BA

Jadi (G_AB )⁻¹=G_BA

10.2. Hasil Kali Geseran

5.    Jika G_AB sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga AB =2CD maka G_AB =S_DS_C.

Bukti:

Andaikan g = CD, k⊥g di c, m⊥g di D (gambar 10.4)

Maka CD ruas garis berarah dari k ke m. Oleh karena AB = 2CD

Maka G_AB=M_mM_k sedangkan S_D=M_m M_g dan S_C =M_g M_k .

Jadi :

             S_DS_C =( M_m M_g )( M_g M_k ) =M_m ( M_g M_g ) M_k

Atau S_DS_C= M_m IM_k = M_m M_k

Dengan demikian maka G_AB= S_DS_C

6.    Komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah putaran.

Bukti :

Andaikan G_AB suatu geseran dan C sebuah titik sebarang.

Andaikan E titik (yang tunggal) sehingga CE =AB . Andaikan D titik tengah CE maka CE=2CD ;menurut teorema 10.5

G_AB= S_DS_C

Jadi G_ABS_C =( S_DS_C) S_C = S_D I= S_D maka G_ABS_C =S_D

7.    Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi.

Bukti :

Catatan : Apabila CD=BA maka G_AB G_CD =G_AB G_BA=I . Di sini I adalah transformasi identitas. Jadi : Kalau CD= BA maka kalau I dianggap sebagai translasi, teorema di atas tetap berlaku.

8.    Jika G_OA sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik 0(0,0) dan

A(a,b) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai T ( P ) =(x+a, y+b) maka T=G_OA .

Bukti :

Untuk P=( x, y ), T ( P )=( x+a, y+b) . Andaikan P'=G_OA(P) maka PP'=OA

sehingga P’=( x+a −0, y+b −0) =( x+a, y+b) . Jadi T (P) =G_OA (P), ∀P∈V .

Ini berarti G_OA =T .

Untuk membuktikan dengan koordinat-koordinat teorema 10.7 perhatikan dua translasi G_EF dan G_KH . Andaikan A=( a, b) dan B=(c, d ) dua titik sehingga OA=EF dan OB =KH maka apabila P ( x, y ) titik sebarang, diperoleh G_EF (P) = G_OA(P) =( x +a, y+b),

dan G_KH(P)=G_OB(P)=( x+c, y+d ) maka

          G_KH G_EF(P) =G_OB G_OA(P)=G_OB [( x+a, y+b)]

                          =(( x+a )+c, ( y+b)+d )

  =( x+( a+c ), y+(b+d ))

Ini berarti bahwa G_KH G_EF adalah translasi yang membawa titik O(0,0) ke titik ( a+c, b+d ).