BAB 7 GRUP

BAB 7

GRUP

A. Himpunan Dengan Struktur Grup 

Definisi A.1 Suatu himpunan tak kosong G dengan sebuah operasi (dinotasikan (G,*)), dapat membentuk Grup jika dan hanya jika memenuhi empat aksioma berikut.

1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal. Atau secara simbolis: (a, b G), a*b = c

2. Operasi bersifat asosiatif, yakni (a,b, c G), (a* b) *c = a* (b* c).

3. Ada elemen identitas dalam G, yakni (e G), (a G), a *e = e *a = a.

4. Tiap-tiap elemen dalam G memiliki invers, yakni (a G), (a⁻¹ G), a* a⁻¹ = a⁻¹ *a = e, dimana e adalah elemen identitas terhadap operasi .

Apabila salah satu sifat diatas tidak dipenuhi, maka G bukan grup. Untuk menyatakan grup, dapat ditulis (G,*).

Definisi A.2

1. Sebuah grup yang banyaknya unsur-unsur takhingga dinamakan grup tak hingga.

2. Sebuah grup yang banyaknya unsur-unsur terhingga dinamakan grup terhingga.

Definisi A.3 Sebuah grup (G,* ) merupakan grup komutatif apabila (a, b G), a* b = b* a.

B. Sifat-sifat Dasar Grup

Teorema-teorema berikut memaparkan beberapa sifat-sifat dasar dari grup:

Teorema B.1 Elemen identitas dari suatu grup adalah tunggal.

Teorema B.2 Invers dari setiap elemen dalam suatu grup adalah tunggal.

Teorema B.3 Jika G adalah grup dengan operasi biner , maka dalam G berlaku hukum kanselasi kiri dan hukum kanselasi kanan. Yakni, a* b = a *c berimplikasi b = c, dan a* b = c b berimplikasi a = c, a, b, c ∈G.

Teorema B.4 Jika G grup dan a₁, a₂, · · · , a_n adalah sebarang n elemen dalam G, maka berlaku (a₁ a₂ · · · a_n)⁻¹ = a_n^-1 *a_n^-1*…*a₁^-1

Teorema B.5 Jika G adalah grup maka untuk sebarang elemen a dalam G berlaku (a⁻¹)⁻¹ = a.

Teorema B.6 Dalam sebuah grup G, persamaan a*x = b, dengan a, b ∈G dan x adalah peubah, mempunyai penyelesaian tunggal yakni x = a⁻¹b.

Teorema B.7 Jika suatu himpunan tak kosong G terhadap operasi memenuhi aksioma: tertutup, asosiatif, dan persamaan a *x = b dan y *a = b mempunyai penyelesaian untuk setiap a, b ∈G, maka (G,* ) merupakan grup.

C. Subgrup

Agar menjadi sebuah subgrup dari grup G maka H haruslah merupakan sebuah grup dalam grup G, yang berarti H harus memenuhi semua aksioma grup terhadap operasi biner yang sama dengan G.