BAB 8 RUAS GARIS BERARAH

BAB 8

RUAS GARIS BERARAH

A.     Definisi dan Sifat-sifat yang Sederhana

Untuk melajutkan penyelidikan tentang isometri diperlukan pengertian tentang ruas garis berarah sebagai berikut:

Definisi: Suatu ruas garis berarah adalah sebuah ruas garis yang salah satu ujungnya dinamakan titik pangkal dan ujung yang lain dinamakan titik akhir.

Apabila A dan B dua titik, lambang 𝐴𝐵̅̅̅̅ kita gunakan sebagai ruas garis berarah dengan pangkal A dan titik akhir B. Perhatikan 𝐴𝐵̅̅̅̅ dan AB melukiskan dua hal yang berbeda. Seperti diketahui bahwa 𝐴𝐵 menggambarkan sinar atau setengah garis yang berpangkal di A dan melalui B.

Dua ruas garis 𝐴𝐵̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ disebut kongruen apabila AB = CD. Walaupun AB = CD, 𝐴𝐵̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ tidak perlu sama; 𝐴𝐵̅̅̅̅ adalah sebuah himpunan sedangkan AB adalah bilangan real. Jika 𝐴𝐵̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ kongruen ditulis 𝐴𝐵̅̅̅̅≅𝐶𝐷̅̅̅̅.

Andaikan sekarang ada 2 ruas garis berarah 𝐴𝐵̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅. Dalam membandingkan dua ruas garis berarah 𝐴𝐵̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ tidaklah sukup, jika AB = CD; kedua ruas garis berarah itu searah. Jika demikian, dikatakan bahwa ruas garis berarah 𝐴𝐵̅̅̅̅ ekivalen dengan ruas garis berarah 𝐶𝐷̅̅̅̅ yang ditulis sebagai 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐶𝐷̅̅̅̅.

Definisi: 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐶𝐷̅̅̅̅ apabila Sp(A) = D dengan P titik tengah 𝐵𝐶̅̅̅̅.

Teorema 9.1: andaikan 𝐴𝐵̅̅̅̅dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ dua ruas garis berarah yang tidak segaris, maka segi-4 ABCD sebuah jajargenjang jika dan hanya jika 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐶𝐷̅̅̅̅.

Bukti:

Akan ditunjukkan jika 𝐴𝐵̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ adalah dua ruas garis berarah yang tidak segaris maka ABCD jajargenjang ⟺𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐶𝐷̅̅̅̅.

(⟹) Akan ditunjukkan jika ABCD sebuah jajar genjang dengan 𝐴𝐵̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ adalah 2 ruas garis berarah yang tidak segaris maka 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐶𝐷̅̅̅̅.

Dipunyai ABCD sebuah jajar genjang.Diagonal-diagonal 𝐴𝐷̅̅̅̅ dan 𝐵𝐶̅̅̅̅ berpotongan di tengah-tengah, misalkan titik P. Dengan demikian Sp(A) = D, dengan P adalah titik tengah 𝐴𝐷̅̅̅̅ maupun 𝐵𝐶̅̅̅̅. Berdasarkan definisi keekivalenan diperoleh 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐶𝐷̅̅̅̅.

(⟸) Akan ditunjukkan jika 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐶𝐷̅̅̅̅ maka ABCD jajargenjang dengan 𝐴𝐵̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ adalah 2 ruas garis berarah yang tidak segaris.

Dipunyai 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐶𝐷̅̅̅̅.

Misalkan titik P adalah titik tengah 𝐵𝐶̅̅̅̅.

Menurut definisi keekivalenan maka Sp(A) = D.

Berarti AP = PD, jadi P juga titik tengah AD.

Hubungkan titik A ke C dan titik B ke D sehingga terbentuklah segiempat ABCD.

𝐴𝐷̅̅̅̅ dan 𝐵𝐶̅̅̅̅ adalah diagonal-diagonal segiempat ABCD yang terbagi sama panjang di P (definisi jajar genjang).

Akibatnya segiempat ABCD sebuah jajar genjang.

Jadi terbukti jika 𝐴𝐵̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ adalah dua ruas garis berarah yang tidak segaris maka ABCD jajargenjang ⟺𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐶𝐷̅̅̅̅.

Akibat Teorema

Jika 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐶𝐷̅̅̅̅ maka AB = CD dan 𝐴𝐵 dan 𝐶𝐷 sejajar atau segaris.

Bukti:

Akan dibuktikan 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐶𝐷̅̅̅̅⟹𝐴𝐵=𝐶𝐷 dan 𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗⃗ dan 𝐶𝐷⃡⃗⃗⃗⃗ sejajar atau segaris.

Dipunyai 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐶𝐷̅̅̅̅

Kasus 𝑝∈𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗⃗ :

Karena 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐶𝐷̅̅̅̅, maka menurut definisi keekivalenan, Sp(A) = D dengan P adalah titik tengah 𝐵𝐶̅̅̅̅ sehingga BP = PC.

Pilih titik P pada perpanjangan 𝐴𝐵̅̅̅̅.

Karena Sp(A) = D, maka AP = PD.

Diperoleh AP = PD ⟺ AB + BP = PC + CD.

Karena BP = PC, maka AB + PC = PC + CD ⟺ AB = CD.

Buat garis yang melalui titik A dan D.

Diperoleh 𝐴𝐵̅̅̅̅⊂𝐴𝐵 dan 𝐶��̅̅̅̅⊂𝐶𝐷 sehingga 𝐴𝐵̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅⊂𝐴 .

Karena 𝐴𝐵̅̅̅̅ segaris dengan 𝐶𝐷̅̅̅̅ maka 𝐴𝐵 segaris dengan 𝐶𝐷.

Kasus 𝑝∉𝐴𝐵:

Karena 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐶𝐷̅̅̅̅, maka 𝐴𝐵̅̅̅̅ tidak segaris.

Berdasarkan teorema 9.1, diperoleh segiempat ABCD jajar genjang.

Menurut karakteristik jajar genjang bahwa sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar, akibatnya AB = CD.

Karena 𝐴𝐵̅̅̅̅ // 𝐶𝐷̅̅̅̅, 𝐴𝐵̅̅̅̅⊂𝐴𝐵 dan 𝐶𝐷̅̅̅̅⊂𝐶𝐷 maka 𝐴𝐵//𝐶𝐷.

Teorema 9.2:

Diketahui ruas-ruas garis berarah 𝐴𝐵̅̅̅̅,𝐷̅̅̅̅, dan 𝐸𝐹̅̅̅̅ maka

1. 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐴𝐵̅̅̅̅ (sifat reflexi);

2. jika 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐶𝐷̅̅̅̅ maka 𝐶𝐷̅̅̅̅=𝐴𝐵̅̅̅̅ (sifat simetrik);

3. jika 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐶𝐷̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅=𝐸𝐹̅̅̅̅ maka 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐸𝐹̅̅̅̅ (sifat transitif).

Bukti:

1. Akan dibuktikan 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐴𝐵̅̅̅̅ (sifat reflexi)

Misalkan P adalah titik tengah 𝐴𝐵̅̅̅̅, maka Sp(A) = B

Menurut definisi keekivalenan diperoleh 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐴𝐵̅̅̅̅.

2. Akan dibuktikan jika 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐶𝐷̅̅̅̅ maka 𝐶𝐷̅̅̅̅=𝐴𝐵̅̅̅̅ (sifat simetrik)

Menurut teorema 9.1 jika 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐶𝐷̅̅̅̅ maka segiempat ABCD jajargenjang, diagonal-diagonal 𝐵𝐶̅̅̅̅ dan 𝐴𝐷̅̅̅̅ membagi sama panjang di P,

maka P dalah titik tengah 𝐴𝐷̅̅̅̅

akibatnya Sp(C) = B

menurut definisi kekeivalenan apabila Sp(C) = B dengan P titik tengah 𝐴𝐷̅̅̅̅ maka 𝐶𝐷̅̅̅̅=𝐴𝐵̅̅̅̅.

3. Akan dibuktikan jika 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐶𝐷̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅=𝐸𝐹̅̅̅̅ maka 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐸𝐹̅̅̅̅ (sifat transitif):

Diperoleh 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐶𝐷̅̅̅̅ maka Sp(A) = D dengan P titik tengah 𝐵𝐶̅̅̅̅

Diperoleh 𝐶𝐷̅̅̅̅=𝐸𝐹̅̅̅̅ maka Sq(C) = F dengan Q titik tengah 𝐷𝐸̅̅̅̅

Menurut teorema 9.1 jika 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐶𝐷̅̅̅̅ maka segiempat ABCD jajargenjang sehingga 𝐴𝐵̅̅̅̅//𝐶𝐷̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅//𝐸𝐹̅̅̅̅ akibatnya 𝐴𝐵̅̅̅̅//𝐸𝐹̅̅̅̅.

Menurut akibat dari teorema 9.1 bahwa jika 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐶𝐷̅̅̅̅ maka AB = CD,

jika 𝐶𝐷̅̅̅̅=𝐸𝐹̅̅̅̅ maka CD = EF

Akibatnya AB = EF.

Karena AB = EF dan 𝐴𝐵̅̅̅̅//𝐸𝐹̅̅̅̅ maka ABFE jajargenjang.

Menurut teorema 9.1 jika ABCD jajargenjang maka 𝐴𝐵̅̅̅̅//𝐸𝐹̅̅̅̅.