BAB 10 ROTASI / PERPUTARAN

BAB 10

ROTASI / PERPUTARAN

   A.    Definisi

Rotasi adalah perputaran yang di tentukan oleh pusat dan besar sudut putar. Rotasi atau perputaran ditentukan oleh pusat dan besar sudut putar.

   B.    Sifat - sifat rotasi

   1.     Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar sama dengan  jumlah kedua sudut     putar semula.

   2.     Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.

Catatan: Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.

Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya = 1

   C.    Rotasi Pusat O(0,0)

Y(x,y)

P(x’,y’)

Titik P(x,y) dirotasi sebesar a berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0,0) dan diperoleh bayangan P’(x’,y’)

P(x,y)

maka:    x’ = xcosa - ysina

              y’ = xsina + ycosa

ü  Jika sudut putar a = ½π (rotasinya dilambangkan dengan R½π)

maka x’ = - y  dan y’ = x

Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–)

Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+)

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi:

+90° atau –270°  dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6)

+270° atau –90°  dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A2(9, -3), B2(3, -3), C2(3, -6)

+180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

Berdasarkan penjelasan diatas, maka rotasi dapat dirumuskan sebagai berikut :

Rotasi sejauh θ dengan pusat (a, b)

Rumus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi O(0, 0):

BAB 9 GESERAN (TRANSLASI)

BAB 9

GESERAN (TRANSLASI)

     A.   Ketentuan dan Sifat-sifat

Teorema 10.1 : Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A dan B

maka AA" = BB" dengan A" =M_g M_h (A) dan B" =M_h M_g (B).

Bukti : Kita pilih sebuah system koordinat dengan g sebagai sumbu –y dan sebuah garis tegak lurus pada g sebagai sumbu-x

Andaikan A =(a₁,a₂ ) dan B =(b₁,b₂ ). Jika N tengah-tengah ruas garis A" B maka harus dibuktikan S_N( A) =B" . Andaikan persamaan h adalah x =k (k≠ 0), apabila P =( x, y ) dan P'=M_h( P) maka PP' memotong h di sebuah titik Q=( k , y ) dengan Q sebagai titik tengah PP' , jadi P'=M_h( P)=(2k −x, y ) sedangkan M_g( P ) ( −x, y ) .

Jadi, M_hM_g (P) = M _h [(−x, y )]=( 2k +x, y )

Jadi pula A"=M_hM_g(A)=( 2x + a₁,a₂ ) dan B"= M_hM_g ( B) =(2x + b₁,b₂ )

Oleh karena N titik tengah A" B , maka

B.   Definisi

Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada ruas garis berarah AB

Sehingga setiap titik P pada bidang menjadi P' dengan G(P) = P' dan PP' = AB.

C.    Teorema

2.     Apabila AB =CD maka G_AB =G_CD

Bukti :

Jika x sebarang, maka harus dibuktikan G_AB (X) =G_CD (X) .

Andaikan G_AB(X)= X₁ dan G_CD(X)=X₂

Jadi XX₁ = AB dan XX₂ = CD

Karena AB = CD maka XX₁ = XX₂ ini berarti bahwa X₁=X₂ sehingga

G_AB=G_CD.

3.    Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan CD sebuah garis berarah tegak lurus pada g denga C∈g dan D∈h. Apabila AB = 2CD maka G_AB=M_g M_h .

Bukti :

Andaikan P sebuah titik sebarang. Jika P'=G_AB(P) dan P"=M_hM_g(P),maka harus dibuktikan bahwa P'= P".

Menurut ketentuan geseran, PP' = AB . Oleh karena AB = 2CD, maka PP' = 2CD .Berhubung C"= M_hM_g (C),C∈g, maka C" =M_h(C).

Jadi D adalah titik tengah CC" sehingga CC" 2CD . Oleh karena

CC" =PP"(teorema 1) , maka PP" =2CD=PP'

Ini berarti bahwa P'=P". jadi G_AB(P) =M_hM_g(P).

Karena P sebarang, maka G_AB =M_hM_g .

4.    Jika G AB sebuah geseran maka (G AB ) −G BA .

Bukti :

Oleh karena himpunan isometri-isometri merupaka grup bagian dari grup

transformasi, maka setiap geseran memiliki balikan (G AB ) −1 (gambar 10.3). Dari uraian diatas diperoleh :

                      G_AB =M_hM_g =M_n M_h

Sedangkan  G_BA=M_h M_n =M_g M_h

Sehingga (G_AB )⁻¹ =( M_n M_h )⁻¹ =M_h M_n =M_h M_n =G_BA

Jadi (G_AB )⁻¹=G_BA

10.2. Hasil Kali Geseran

5.    Jika G_AB sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga AB =2CD maka G_AB =S_DS_C.

Bukti:

Andaikan g = CD, k⊥g di c, m⊥g di D (gambar 10.4)

Maka CD ruas garis berarah dari k ke m. Oleh karena AB = 2CD

Maka G_AB=M_mM_k sedangkan S_D=M_m M_g dan S_C =M_g M_k .

Jadi :

             S_DS_C =( M_m M_g )( M_g M_k ) =M_m ( M_g M_g ) M_k

Atau S_DS_C= M_m IM_k = M_m M_k

Dengan demikian maka G_AB= S_DS_C

6.    Komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah putaran.

Bukti :

Andaikan G_AB suatu geseran dan C sebuah titik sebarang.

Andaikan E titik (yang tunggal) sehingga CE =AB . Andaikan D titik tengah CE maka CE=2CD ;menurut teorema 10.5

G_AB= S_DS_C

Jadi G_ABS_C =( S_DS_C) S_C = S_D I= S_D maka G_ABS_C =S_D

7.    Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi.

Bukti :

Catatan : Apabila CD=BA maka G_AB G_CD =G_AB G_BA=I . Di sini I adalah transformasi identitas. Jadi : Kalau CD= BA maka kalau I dianggap sebagai translasi, teorema di atas tetap berlaku.

8.    Jika G_OA sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik 0(0,0) dan

A(a,b) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai T ( P ) =(x+a, y+b) maka T=G_OA .

Bukti :

Untuk P=( x, y ), T ( P )=( x+a, y+b) . Andaikan P'=G_OA(P) maka PP'=OA

sehingga P’=( x+a −0, y+b −0) =( x+a, y+b) . Jadi T (P) =G_OA (P), ∀P∈V .

Ini berarti G_OA =T .

Untuk membuktikan dengan koordinat-koordinat teorema 10.7 perhatikan dua translasi G_EF dan G_KH . Andaikan A=( a, b) dan B=(c, d ) dua titik sehingga OA=EF dan OB =KH maka apabila P ( x, y ) titik sebarang, diperoleh G_EF (P) = G_OA(P) =( x +a, y+b),

dan G_KH(P)=G_OB(P)=( x+c, y+d ) maka

          G_KH G_EF(P) =G_OB G_OA(P)=G_OB [( x+a, y+b)]

                          =(( x+a )+c, ( y+b)+d )

  =( x+( a+c ), y+(b+d ))

Ini berarti bahwa G_KH G_EF adalah translasi yang membawa titik O(0,0) ke titik ( a+c, b+d ).