BAB 3 ISOMETRI

BAB 3

ISOMETRI

Definisi :

Isometri dalah suatu pencerminan atau refleksi pada sebuah garis s adalah suatu transformasi yang mengawetkan jarak atau dinamakan juga dengan isometri.

 

Bukti :

a.    Andaikan s sebuah garis dan T sebuah isometric akan dibuktikan T(s)=s’.

A∈s dan B∈s

1.     Akan dibuktikan h⊂ s’

A’X’ +X’B’ = A’B’

Karena T transformasi,maka ada Xsehinga T(x)=X’

T suatu isometric,maka:

AX=A’X’

BX=B’X’

AB=A’B’

Diperoleh A’X’ + X’B’ + A’B’ = AX + XB + AB

Ini berarti A,X,B segaris pada s dan X’=T(x) ∈s’ atau h

Jadi,untuk setiap X’∈s’,maka X’∈h sehingga h⊂ s’.

2.    Akan dibuktikan s’⊂ h

Ambil Y’∈s, maka Y∈s sehingga T(y)=Y’.

Misal (A,Y,B), A∈s, Y∈s, B∈s dan AY+YB=AB

Karena T suatu transformasi,maka ada Y sehingga T(y)=Y’.

T suatu isometric,maka:

AY=A’Y’

YB=Y’B’

AB=A’B’

Diperoleh A’Y’ + Y’B’ + A’B’ = AY+YB+AB

Ini berarti bahwa A’, Y’, B’ segaris karena h(garis melalui A’B’) maka,

Y’∈A

Y’∈s dan Y∈s maka s’⊂ h

Disimpulka bahwa s=s’.

Jadi, jika s sebuah garis maka s’=T(s) adalah sebuah garis.

b.    Ambil sebuah ∆ABC

Andaikan T(A)=A’,T(B)=B’,T(C)=C ‘ lihat pada gambar 1.

AB adalah peta dari A’B’

BC adalah peta dari garis lurus.

Karena AB dan BC merupakan garis lurus maka A’B’ dan B’C’ juga merupakan garis lurus.

c.    Kesejajaran dua garis(menggunakan kontradiksi)