Latihan Soal Geometri Transformasi

Latihan Soal Geometri Transformasi

1. Transformasi http://www.slideshare.net/dianzzu/1transformasi
2. Pencerminan http://www.slideshare.net/dianzzu/2pencerminan
3. Isometrihttp://www.slideshare.net/dianzzu/3isometri
4. Hasilkali Transformasihttp://www.slideshare.net/dianzzu/4hasilkali-transformasi
5.Transformasi Balikanhttp://www.slideshare.net/dianzzu/5transformasi-balikan
6. Setengah Putaranhttp://www.slideshare.net/dianzzu/6setengah-putaran
7.Gruphttp://www.slideshare.net/dianzzu/7grup
8.Ruas Garis Berarah http://www.slideshare.net/dianzzu/8ruas-garis-berarah
9.Geseran(Translasi)http://www.slideshare.net/dianzzu/9translasi
10.Putaran (Rotasi)http://www.slideshare.net/dianzzu/10rotasi

BAB 3 ISOMETRI

BAB 3

ISOMETRI

Definisi :

Isometri dalah suatu pencerminan atau refleksi pada sebuah garis s adalah suatu transformasi yang mengawetkan jarak atau dinamakan juga dengan isometri.

 

Bukti :

a.    Andaikan s sebuah garis dan T sebuah isometric akan dibuktikan T(s)=s’.

A∈s dan B∈s

1.     Akan dibuktikan h⊂ s’

A’X’ +X’B’ = A’B’

Karena T transformasi,maka ada Xsehinga T(x)=X’

T suatu isometric,maka:

AX=A’X’

BX=B’X’

AB=A’B’

Diperoleh A’X’ + X’B’ + A’B’ = AX + XB + AB

Ini berarti A,X,B segaris pada s dan X’=T(x) ∈s’ atau h

Jadi,untuk setiap X’∈s’,maka X’∈h sehingga h⊂ s’.

2.    Akan dibuktikan s’⊂ h

Ambil Y’∈s, maka Y∈s sehingga T(y)=Y’.

Misal (A,Y,B), A∈s, Y∈s, B∈s dan AY+YB=AB

Karena T suatu transformasi,maka ada Y sehingga T(y)=Y’.

T suatu isometric,maka:

AY=A’Y’

YB=Y’B’

AB=A’B’

Diperoleh A’Y’ + Y’B’ + A’B’ = AY+YB+AB

Ini berarti bahwa A’, Y’, B’ segaris karena h(garis melalui A’B’) maka,

Y’∈A

Y’∈s dan Y∈s maka s’⊂ h

Disimpulka bahwa s=s’.

Jadi, jika s sebuah garis maka s’=T(s) adalah sebuah garis.

b.    Ambil sebuah ∆ABC

Andaikan T(A)=A’,T(B)=B’,T(C)=C ‘ lihat pada gambar 1.

AB adalah peta dari A’B’

BC adalah peta dari garis lurus.

Karena AB dan BC merupakan garis lurus maka A’B’ dan B’C’ juga merupakan garis lurus.

c.    Kesejajaran dua garis(menggunakan kontradiksi)

Bab 2 Pencerminan

Bab 2

Pencerminan

Definisi : suatu pencerminan (refleksi) pada sebuah garis S adalah suatu fungsi M, yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang v sebagai berikut:

     a.    Jika P∈S, maka M_S(P)=P

     b.    Jika P∉ S,maka M_S(P)=P’ sehingga garis S adalah PP’

Teorema 1.2

Suatu transformasi T(garis) adalah suatu transformasi.

Jika A’ = M_S(A)

       B’ = M_S(B)

Maka AB = A’B’

Bukti :

Ambil sebarangA, B, A’, B’ ∈ S dengan  M_S(A)= A’ dan M_S(B)= B’

     i.            i. Jika A,B∈S, maka A= M_S(A)= A’ dan B= M_S(B)= B’. jadi A’B’.

    ii.          ii. Jika A∈S ,B∈S, maka M_S(A)= A’=A dan M_S(B)= B’=B, jadi AB=A’B’.

Akan ditunjukkan.

AC=A’C                   (Berhimpit)

m∠ACB= m∠ACB’ (∆ siku-siku)

BC=B’C                             (sumbu simetri)

∴∆ACB ≌ ∆ACB’  (sisi,sudut,sisi)

Diperoleh AB = AB’

Garis S merupakan garis bagi yang tegak lurus.

     i.          iii. Jika A,B ∉ S dan M_S(A)= A’ , M_S(B)= B’ akan ditunjukkan AB=A’B’.

Lihat ∆ADC dan ∆A’DC

DC=DC                      (Berhimpit)

m∠ADC= m∠A’DC      (∆ siku-siku)

AD=A’D                    (sumbu simetri)

∴∆ADC ≌ ∆A’DC      (sisi,sudut,sisi)

Diperoleh A’= M_S(A)

Lihat ∆ADC dan ∆A’DC

DC=DC                              (Berhimpit)

m∠ADC= m∠A’DC (∆ siku-siku)

AD=A’D                            (sumbu simetri)

∴∆ADC ≌ ∆A’DC  (sisi,sudut,sisi)

Diperoleh A’= M_S(A)

Lihat ∆BCD dan ∆B’CD

BC=B’C                             (sumbu simetri)

m∠BCD= m∠B’CD  (∆ siku-siku)

DC=DC                              (Berhimpit)

∴∆BCD ≌ ∆B’CD  (sisi,sudut,sisi)

Diperoleh B’= M_S(B)

Maka AB = A’B’

Dari pembuktian diatas maka terbukti bahwa suatu transformasi T (garis) adalah suatu isometri untuk setiap pasangan titik A,B berlaku A’B’=AB dengan A’=M_S(A) danB’= M_S(B).