BAB 5 TRANSFORMASI BALIKAN

BAB 5

TRANSFORMASI BALIKAN

A.   Ketentuan dan sifat-sifat

g sebuah garis dan M_g reflexi pada garis g,maka M_g M_g(P)=P.

dapat juga ditulis M²_g(P)=P

jadi M² adalah suatu transformasi yang memetakan setiap titik pada dirinya. Transformasi ini dinamakan transformasi identitas uang dilambangkan dengan huruf I. jadi I(P)=P,∀P.

B.   Definisi

 Suatu tranformasi yang balikannya adalah transformasi itu sendiri dinamakan suatu Involusi. Apabila T dan S transformasi maka masing-masing memiliki balikan yaitu T^-1 dan S^-1. Komposisi transformasi, yaitu T ◦ S adalah juga suatu transformasi. Jadi ada balikan ( T ◦ S ) ^-1.

C.    Teorema

1.    Setiap transformasi T memiliki balikan

Bukti :

Apabila T adalah suatu transformasi, kita peroleh transformasi balikan dari T yaitu L ,adalah sebagai berikut :

Andaikan X ∈V dan V suatu bidang. Oleh karena T suatu transformasi, maka T adalah bijektif. Jadi ada prapeta A ∈V. Sehingga T (A) = X.,kita peroleh

L (X) = A , artinya L (X) adalah prapeta dari X.

Sehingga dari T (A) = X T [ L(X) ] = X. Atau

(TL) (X) = I (X),∀ X∈ V, ini berati TL = I.

Maka (LT) (X) = L [ T(X) ] = X

Andaikan T (X) = B, Sehingga L (B) = X,

Sehingga L (B) = X jadi L [ T (X) ] = X.

(LT) (X) = X = I (X),∀ X∈ V,

Bearti LT = I

Jadi TL = LT = I

2.    Setiap trasformasi memiliki hanya satu balikan.

Bukti :

Andai T suatu transformasi dengan dua balikan S1dan S2.Maka (TS1)(P)=(S1T)(P)=I(P),∀P

(TS2)(P)=(S2T)(P)=I(P), ∀P

Sehingga (TS1)(P)=(TS2)(P)⇒ T[S1(P)]=T[S2(P)].

Karena T transformasi maka S1 (P) = S2 (P), ∀P

Sehingga S1 = S2.

Jadi balikan T adalah S1 = S2 = S

3.    Balikan setiap pencerminan pada garis adalah pencerminan itu sendiri.

Bukti :

Apabila pencerminan pada garis g, Mg’.

Jika Mg (X) = Y; X∉g. maka Mg [Mg (X)=X]=X atau (Mg Mg) (X) = I (X),∀X∉ g.

Jadi Mg ◦ Mg = I.

Apabila X∈g, maka Mg (X) = X

sehingga Mg (X) = Mg [Mg (X) ] atau juga

Mg ◦ Mg = I.

Jadi untuk setiap X diperoleh : Mg ◦ Mg = I

Dengan demikian Mg^-1 =Mg

4.    Apabila T dan S transformasi-transformasi maka (ToS)^-1 = S^-1 o T^-1

Bukti:

Kita telah mengetahui bahwa (T ◦ S)^-1 ◦ (T ◦ S) = I.

Tetapi (S^-1◦T^-1) ◦ (T ◦ S)= S^-1◦(T^-1◦T) ◦S =S^-1 ◦I ◦ S = S^-1 ◦ S= I.

Oleh karena suatu transformasi memiliki hanya satu balikan maka

(T ◦ S)^-1= S^-1 ◦ T^-1.

Jadi, hasil kali transformasi adalah hasil kali balikan-balikan transformasi

dengan urutan yang terbalik.

D.   Contoh Soal

1. Pada sebuah sistem sumbu ortogonal ada garis g = { (x,y) | y = x } dan

h = { (x,y) | y = 0 }

Tentukan P sehingga (Mh Mg) (P) = R dengan R = (2,7) !

Jawab :

Apabila P = (x,y), maka diperoleh berturut-turut

 (Mg ^-1 Mh ^-1)( Mh Mg) (P) = (Mg ^-1 Mh ^-1) (R).

 Jadi P = Mg ^-1 [Mh ^-1 (R) ].

Oleh karena R = (2,7) dan Mh ^-1 = Mh,

maka Mh ^-1 (R) = Mh (R) = (2,-7)

sehingga Mg ^-1 , Mh ^-1 (R) = Mg ^-1 (2,-7) = Mg (2,7) = (7,2)

jadi P = (-7,2).