BAB 4 HASIL KALI TRANSFORMASI

BAB 4

HASIL KALI TRANSFORMASI

Definisi : andaikan F dan G dua transformasi dengan

F:V→V

G:V→V

Maka produk atau komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai G_OF didefinisikan sebagai :

(G_OF)(P)=G[F(P)],∀P∈V

Teorema 1

Jika F=V→V dan G=V→V masing-masing suatu transormasi,maka hasil kali H(G_OF):V→V adalah transformasi.

Bukti:

     1.     H: V→V

Transformasi G memiliki daerah nilai dan daerah asal di V.

Transformasi F memiliki daerah dan daerah asal di V

∴H: V→V

     2.    H surjektif

Surjektif(anggota kodomain memiliki pasangan di domain)

Ambil sebarang Y∈V, akan dibuktikan bahwa H(X) =Y

*Transformasi G

Ambil sebaarang Y∈V, Z∈V.maka G(Z)=Y

*Transformasi F

Ambil sebaarang Z∈V, X∈V.maka F(X)=Z

∴G(Z)=Y

G[F(X)]=Y atau (G_OF)(X)=Y

Jadi Y=H(X)

     3.    H Injektif

Injektif(setiap domain tepat satu pasangan pada kodomain)

Dapat ditulis P≠Q maka H(P)≠H(Q)

Akan dibuktikan menggunakan kontradiksi:

Andaikan H(P)=H(Q) maka

G[F(P)]=G[F(Q)]

F(P)=F(Q)

Didapat P=Q