BAB 6 SETENGAH PUTARAN

BAB 6

SETENGAH PUTARAN

   A.   Ketentuan dan Sifat

Suatu pencerminan pada sebuah garis adalah involusi.contoh lain sebuah involusi adalah suatu setengah ptaran mengelilingi sebuah titik tertentu.oleh karena itu, setengah putaran juga dinamakan pencerminan pada suatu titik atau reflexi padasuatu titik.

   B.   Definisi

1.    Sebuah setengah putaran pada suatu titik A adalah suatu padanan S_A yang didefinisikan untuk setiap titk pada bidang sebagai berikut:

a.    Apabila P≠A maka S_A (P)=P’ sehingga A titik tengah ruas garis PP’

b.    S_A(A)=A

GAMBAR

2.    Misalkan A suatu titik tertentu pada bidang Euclid dan T suatu

transformasi. Titik A disebut titik invarian pada transformasi T jika dan hanya jika berlaku T(A) = A.

3.    Sebuah transformasi T yang mempunyai sifat bahwa sebuah garis

petanya adalah sebuah garis. T disebut kolinear.

4.    Suatu kolineasi ∆ dinamakan suatu dilastasi apabila untuk setiap garis g berlaku sifat ∆(g)//g. salah satu contoh adalah setengah putaran .

   C.    Teorema

1.    Andaikan A sebuah titik g dan h dua gatis tegak lurus yang berpotongan di A. maka S_A=M_gM_h.

Bukti :

GAMBAR

Karena g ⊥h maka kita dapat membuat sebuah sumbu ortogonal dengan g sebagai sumbu x dan h sebagai sumbu y, A dipakai sebagai titik asal.

Dibuktikan bahwa untuk setiap P berlakuS_A(P)= M_g M_h(P).

andaikan P(x,y) ≠A dan andaikan pula bahwa S_A(P)= P’(- x₁,x₁) oleh karena A titik tengah PP’ maka

sehingga x₁ +x=0 dan y₁ +y =0 atau X₁ =-X dan Y₁=-Y.

jadi S_A (P) = P”(-x,-y).

Perhatikan sekarang komposisi pencerminan

M_g M_h(P)= M_g [M_h(P)]= M_g [(-x,y)]= (-x,-y)

Jadi kalau P ≠A maka S_A(P) = (P). Dan  P = A maka M_g M_h(P) = M_g (A) = A

Sedangkan S_A(A) = A jadi juga M_g M_h(A) = S_A (A).Sehingga untuk setiap P pada bidang berlaku M_g M_h (A) = S_A(P) ini berarti M_g M_h(A) = S_A (P).

2.    Jika g dan h dua garis yang tegak lurus maka M_g M_h = M_h M_g

Bukti :

Kalau P = A maka M_g M_h(A)= M_g(A) juga M_h M_g(A)= M_h(A) = A.

Sehingga M_g M_h (A)= M_h M_g (A)

untuk P ≠A maka M_g M_h = S_A , selanjutnya

M_h M_g (P) = M_h ((-x,-y)) = (-x,-y) = S_A (P)

jadi M_h M_g = S_A sehingga diperoleh M_g M_h = M_h M_g.

3.    Jika S_A setengah putaran, maka S_A^-1 = S_A

Bukti :

Andaikan g dan h dua garis yang tegak lurus maka M_g M_h = S_A dengan A

titik  potong antara g dan h.jadi( M_g M_h)^-1  = M_h^-1 M_g^-1   = S_A ^-1 

Oleh karena M_h^-1 = M_h dan M_g^-1 = M_g maka M_g M_h = S_A ^-1 

M_h M_g = M_g M_h oleh karena g h jadi S_A ^-1  = M_g M_h = S_A

4.    Jika A = (a,b) dan P(x,y) sebarang titik maka (P) = (2a-x, 2b-y).

Bukti :

Misalkan Q=(x₀,y₀) = S_A(P) maka A titik tengah dari PQ sehingga anda mendapat hubungan ,  

dan 

didapat persamaan x₀= 2a - x dan y₀= 2b - y. jadi S_A(P) = (2a –x , 2b - y) ,∀P= (x,y)

5.    Andaikan S_A suatu setengah putaran dan g sebuah garis. Apabila A∈g maka S_A(g)//g.

Bukti :

 apabila g tidak melalui titik A. ambil B,C ∈g,misalkan D = S_A(B), E = S_A(C). maka AB = AD, AC = AE, dan ∠BAC≌∠DEA, sebab B,A,D dan C,A,D

masing-masing terletak pada satu garis, jadi ∆BCA ≌ ∆DAE(s-sd-s).

Karena ∠BAC≌∠DEA dan E juga A

terletak pada satu garis, maka 

 karena

dan 

 maka S_A(g) // g. jadi S_A merupakan dilatasi.

6.    Hasilkali dua setengah putaran dengan pusat-pusat yang berbeda tidak memiliki titik tetap.

Bukti :

7.    Jika A≠B adalah dua titik maka hanya asa satu setengah putaran yang memetakan A dan B.

Bukti:

ada dua hal yang harus kita tunjukan, yaitu :

i) Adanya setengah putaran yang memetakan A ke B dan

ii) Tidak lebih dari satu buah setengah putaran yang memetakan A ke B

i) Karena A≠B, maka ada ,hal ini mengakibatkan adanya D, sehingga D

titik tengah AB , artinya ada setengah putaran S_D sehingga S_D(A) = B

ii) Andaikan ada dua buah setengah putaran dan sehingga (A) = B

dan (A) = B. akibatnya (A) = (A).

BAB 5 TRANSFORMASI BALIKAN

BAB 5

TRANSFORMASI BALIKAN

A.   Ketentuan dan sifat-sifat

g sebuah garis dan M_g reflexi pada garis g,maka M_g M_g(P)=P.

dapat juga ditulis M²_g(P)=P

jadi M² adalah suatu transformasi yang memetakan setiap titik pada dirinya. Transformasi ini dinamakan transformasi identitas uang dilambangkan dengan huruf I. jadi I(P)=P,∀P.

B.   Definisi

 Suatu tranformasi yang balikannya adalah transformasi itu sendiri dinamakan suatu Involusi. Apabila T dan S transformasi maka masing-masing memiliki balikan yaitu T^-1 dan S^-1. Komposisi transformasi, yaitu T ◦ S adalah juga suatu transformasi. Jadi ada balikan ( T ◦ S ) ^-1.

C.    Teorema

1.    Setiap transformasi T memiliki balikan

Bukti :

Apabila T adalah suatu transformasi, kita peroleh transformasi balikan dari T yaitu L ,adalah sebagai berikut :

Andaikan X ∈V dan V suatu bidang. Oleh karena T suatu transformasi, maka T adalah bijektif. Jadi ada prapeta A ∈V. Sehingga T (A) = X.,kita peroleh

L (X) = A , artinya L (X) adalah prapeta dari X.

Sehingga dari T (A) = X T [ L(X) ] = X. Atau

(TL) (X) = I (X),∀ X∈ V, ini berati TL = I.

Maka (LT) (X) = L [ T(X) ] = X

Andaikan T (X) = B, Sehingga L (B) = X,

Sehingga L (B) = X jadi L [ T (X) ] = X.

(LT) (X) = X = I (X),∀ X∈ V,

Bearti LT = I

Jadi TL = LT = I

2.    Setiap trasformasi memiliki hanya satu balikan.

Bukti :

Andai T suatu transformasi dengan dua balikan S1dan S2.Maka (TS1)(P)=(S1T)(P)=I(P),∀P

(TS2)(P)=(S2T)(P)=I(P), ∀P

Sehingga (TS1)(P)=(TS2)(P)⇒ T[S1(P)]=T[S2(P)].

Karena T transformasi maka S1 (P) = S2 (P), ∀P

Sehingga S1 = S2.

Jadi balikan T adalah S1 = S2 = S

3.    Balikan setiap pencerminan pada garis adalah pencerminan itu sendiri.

Bukti :

Apabila pencerminan pada garis g, Mg’.

Jika Mg (X) = Y; X∉g. maka Mg [Mg (X)=X]=X atau (Mg Mg) (X) = I (X),∀X∉ g.

Jadi Mg ◦ Mg = I.

Apabila X∈g, maka Mg (X) = X

sehingga Mg (X) = Mg [Mg (X) ] atau juga

Mg ◦ Mg = I.

Jadi untuk setiap X diperoleh : Mg ◦ Mg = I

Dengan demikian Mg^-1 =Mg

4.    Apabila T dan S transformasi-transformasi maka (ToS)^-1 = S^-1 o T^-1

Bukti:

Kita telah mengetahui bahwa (T ◦ S)^-1 ◦ (T ◦ S) = I.

Tetapi (S^-1◦T^-1) ◦ (T ◦ S)= S^-1◦(T^-1◦T) ◦S =S^-1 ◦I ◦ S = S^-1 ◦ S= I.

Oleh karena suatu transformasi memiliki hanya satu balikan maka

(T ◦ S)^-1= S^-1 ◦ T^-1.

Jadi, hasil kali transformasi adalah hasil kali balikan-balikan transformasi

dengan urutan yang terbalik.

D.   Contoh Soal

1. Pada sebuah sistem sumbu ortogonal ada garis g = { (x,y) | y = x } dan

h = { (x,y) | y = 0 }

Tentukan P sehingga (Mh Mg) (P) = R dengan R = (2,7) !

Jawab :

Apabila P = (x,y), maka diperoleh berturut-turut

 (Mg ^-1 Mh ^-1)( Mh Mg) (P) = (Mg ^-1 Mh ^-1) (R).

 Jadi P = Mg ^-1 [Mh ^-1 (R) ].

Oleh karena R = (2,7) dan Mh ^-1 = Mh,

maka Mh ^-1 (R) = Mh (R) = (2,-7)

sehingga Mg ^-1 , Mh ^-1 (R) = Mg ^-1 (2,-7) = Mg (2,7) = (7,2)

jadi P = (-7,2).